Colles de maths semaine 23 : 2 avril 2024

Thème :  équations différentielles linéaires.

Bien connaître l’énoncé du Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire dans le cas vectoriel et son adaptation au cas scalaire.

Le premier objectif à notre niveau est la maîtrise des techniques de calculs.

Il serait donc souhaitable  que la colle commence par une question « calculatoire » d’un des types suivant :

  • Résolution d’un système linéaire X'(t)=A.X(t) avec A matrice constante 2×2 ou 3×3:
    • Cas où A est diagonalisable dans R
    • Cas où A est diagonalisable dans C et qu’on veut des solutions réelles
    • Cas où A est seulement trigonalisable : on a comparé la méthode d’une simple trigonalisation ou de la réduction sous les sous-espaces caractéristique sur des exemples. (Pour les étudiants bien revoir le chapitre R3 de réduction).
  • Résolution d’équations différentielles linéaires scalaires d’ordre deux :
    • Méthodes de première année :  MVC à l’ordre 1, calculs des primitives,  recollement des solutions des E.D. singulières( premier ordre ex 1,2 pl. D3 et un exercice sur la banque CCINP), cas des  second membres particuliers des équations à coeff. constant (cf. ex. 6,7 pl. D3)
    • Méthode de la variation Des constantes pour les ED d’ordre deux :  à bien maîtriser.
    • Quand on ne connaît pas de solutions de l’équation homogène : exemple de recherche des solutions D.S.E. (pratique à bien maîtriser !)
    • Quand on connaît une solution de l’équation homogène et qu’on en vu une autre indépendante, technique de la réduction de l’ordre par variation de la constante (ou via le Wronskien)
  • Pour les équations aux dérivées partielles : technique du changement de variable (et de fonctions) : cette technique s’applique aussi aux équations différentielles ordinaires du reste mais dans tous les cas, les changements de variables doivent être donnés.

Pour toutes ces techniques les élèves trouveront à s’exercer (en plus de la planche) avec les exercices de la banque CCINP.

Dans le monde idéal où ce premier exercice de calcul n’occuperait pas toute la colle, on peut poser une question plus qualitative… même si pour l’instant peu d’exercices qualitatifs ont été traités sur la Planche-D3 : les exercices traités en classes à ce stade  sont les numéro 1 à 8 et 10 et 12, mais on a expliqué le début la résolution du 17 en comparant à celle du 6. 

C’est la dernière semaine de colle avant les écrits ! Merci à tous les examinateurs et examinatrice pour le travail mené cet année, on se retrouvera pour les oraux blancs…

Colles de maths sem 22 : lundi 25 mars

Thème  : calcul différentiel, reprise du programme précédent et on rajoute le calcul à l’ordre deux, mais pas d’équations aux dérivées partielles cette semaine.

On insistera sur les  exercices d’étude d’éventuels  de maxima/minima locaux avec la hessienne.

Questions de cours possible :

    • Vecteur tangent en un point x  à un sous-ensemble X de R^n : définition, exemples, structure de cône de l’ensemble T_x X de ces vecteurs.
    • Exemple si X est une sphère (savoir refaire) dans R^n.
    • Cas général si x est un  point régulier  d’une hypersurface X définie par  l’équation g=0 alors  T_x X est l’hyperplan défini par ker dg(x) (une inclusion admise dans le cadre général : dans certains exemples, on montre l’inclusion manquante)
    • C.N. d’extremum pour f en un point x d’un ouvert U : df(x)=0 (point critique).
    • C.N. d’extremum pour f_|X où X sous ensemble qcq : T_x X inclus dans Ker df(x)
    • C.N. d’extremum pour f_|X en un point régulier  x  d’une hypersurface d’équation g=0  : df(x)= k dg(x).
      • Calcul différentiel d’ordre 2 :
        • fonctions C^2, C^k, théorème de Schwarz (admis)
        • Calcul (important) de la dérivée seconde de t->f(a+tx)
        • Définition de la Hessienne d’une fonction f : U -> R, c’est aussi la jacobienne du gradient de f.
        • Savoir citer le théorème de Taylor-Young à l’ordre 2 (admis)
        • C.N. de min. local : point critique a tel que Hf(a) soit symétrique positive (savoir dém).
        • C.S. de min. local : point critique a tel que Hf(a) soit définie positive. (savoir dém.)
        • Pratique en dim. 2 avec det(Hf(a)) et Tr(Hf(a)).
        • Exemple où Hf(a) est dégénérée (0 v.p.) en exercice.

Sur la planche tous les exercices jusqu’au 14 compris ont été faits en classe.

Planche-D2-2023-part-II

Pas d’E.D.P. cette semaine. Banque CCINP :  travailler en priorité les ex 56 et 41.

Programme de colles maths semaine 21 :

Semaine du lundi 18 mars 2024 : fonctions d’une variable réelle à valeurs vectorielles et début du calcul différentiel pour les fonctions de plusieurs variables.

Dans l’idéal un peu des deux thèmes mais pour le second :

Le cours de calcul diff. est encore tout frais pour les élèves, les questions resteront donc très proches du cours et très élémentaires. Il s’agit surtout d’asseoir la compréhension de la nature des objets… qu’est-ce que df, df(x), df(x).h, le gradient etc..

Les deux types d’exercices standard sur le calcul diff sont représentés par les deux exercices 57 et 58  de la banque CCINP : ce sera  les deux seuls exercices de la banque  exigibles pour cette semaine : étude via les dérivées partielles et le caractère C^1 ou bien étude via la déf. de la différentiabilité (D.L1).

Exemples de questions de cours sur les deux chapitres :

Chapitre fonctions vectorielles d’une variable réelle : 

  • Trois définitions équivalentes de la dérivabilité pour f : I -> E (dém. non demandée)
  • Dérivée de L o f si f est dérivable de I dans E et L est linéaire de E dans F (dém.) : à reméditer après le cours de calcul diff.
  • Dérivée de B(f,g) si f (resp. g) sont dérivables de I dans E  (resp. dans F) et B : E x F-> G est bilinéaire.
  • Extension du point précédent aux applications n-linéaires (typiquement déterminant).
  • Dérivation de t-> exp(tA) par théorème de dérivation terme à terme à valeurs vectorielles.
  • Inégalité triangulaire pour les intégrales de fonctions vectorielles et application à l’I.A.F. dans l’hypothèse C^1.
  • Formules de Taylor à savoir parfaitement (ne pas hésiter à le vérifier …)

Chapitre Calcul Diff (début !) : 

    • Définition de la dérivée D_v f(a) de la fonction f selon le vecteur v au point a et lien avec les dérivées partielles, cas où f est une norme N et a=0 ?
    • Savoir qu’il existe des fonctions f telles que D_v f(a) existe pour tout v et qui ne sont pourtant pas continues en a (exemple donné en cours pas à savoir par  coeur).
    • Définition de la différentiabilité notation df(x).h,  existence d’un D.L. 1,  et définition du gradient pour les fonctions à valeurs réelles . La différentiabilité entraîne la continuité et l’existence des dérivées suivant tout vecteur.
    • Exemples concrets de calculs de DL 1 et notamment dans le cadre matriciel cf. ex. 4, (crucial !) et ex 5 planche et exo de cours sur M-> M^{-1}.
    • Déf. de f C^1 et caractérisation cruciale  (admise) avec la continuité des dérivées partielles à utiliser sur des exemples.
    • Différentielle d’un produit (sans démo)
    •  Différentielle d’une  fonction composée (sans démo)  notamment la formule de dérivation le long d’une courbe.
  • Tous les exercices des deux planches ont été faits sauf le dernier de chaque planche. Planche-D1-2023Planche-D2-2023

Colles de maths sem 20 : lundi 11 mars

Semaine 20  du lundi  11 mars 2022 : variables aléatoire discrète (2ème  partie)

Cette semaine, on rajoute : les moments d’ordre supérieurs, variance, covariance, les fonctions génératrices des v.a. à valeurs dans N, les inégalités de Markov, Bienaymé Tchebychev, et la loi faible des grands nombres.

Plus précisément, questions de cours possibles : 

  • Moments d’ordre r d’une v.a.d. : si X admet un moment d’ordre r alors X admet un moment d’ordre s pour tout s<r.
  • Calculs des variances des lois usuelles et notamment géométriques et Poisson et cas de loi binomiale comme sommes de v.a. indépendantes
  • Covariance : déf., application à la variance d’une somme
  • Deux inégalités de Cauchy-Schwarz dans le contexte probabiliste,  l’une avec (X,Y)->E(XY), l’autre avec la covariance,
  •  fonction génératrice :  deux définitions. La série génératrice détermine la loi.
  • Fonction génératrice d’une somme de v.a.d. indépendantes application à la loi binomiale, à la somme de deux v.a. de Poisson indépendantes
  • Calcul de l’espérance  en dérivant la fonction génératrice (justifier).
  • Inégalité de Markov et de Bienaymé-Tchebychev.
  • Loi faible des grands nombres: énoncé et démonstration.

La Planche-P3-2023 a été entièrement travaillée en classe sauf l’Ex 9 où on a seulement calculé l’espérance. 

Pour la banque CCINP, finalement on ne demandera  pas tous les exercices de proba  cette semaine, pour un travail plus ciblé, on se concentrera sur les ex. : 110, 108, 103 (fonctions génératrices recommandées), 100, 99.

 

Colles de maths semaine 19

Semaine 19 du lundi  4 mars 2024 : variables aléatoire discrète (1ère partie)

Des v.a.d., des espérances mais pas encore de variance ou de covariance, ni de fonction génératrice ou d’inégalité de Bienaymé T cette semaine.

Chapitre sur les variables aléatoires discrètes: Qdc possibles :

  • Définition d’une v.a.d. : savoir vérifier les conditions de la déf. d’une v.a.d : exemple du temps d’attente de succès dans une suite de tirages de Bernoulli (v.a.d. de loi géométrique) ou de l’exercice 1 de la planche P2.
  • Caractérisation des v.a. géométriques par le caractère « sans-mémoire ».
  • Une suite de  v.a. suivant B(n,lambda/n) converge en loi vers P(lambda)
  • Indépendance des v.a.d. : déf. équivalentes (dém. non demandée mais savoir faire des énoncés précis).
  • Calcul de l’espérance des v.a. géométriques ou  de Poisson.
  • Théorème de transfert dém non exigée mais énoncé précis (deux cas). Pourquoi une v.a.d. est-elle d’espérance finie ssi E(|X|) est finie ?
  • Calcul de l’espérance d’une v.a.d. à valeur dans N à l’aide des P(X>k) (dém).

Banque CCINP : cette semaine ex 97, 102, 104, 106. (La semaine suivante ce sera tous les exercices de proba de la banque).

Planche-P2-2023 tous les exercices ont été traités.

DM 10 et 12

Bonjour comme promis j’ai fait quelques corrections sur la solution du DM 10. Pour celles et ceux qui seraient très en avance, j’ai mis le DM 12 en avant première sur cette page. Mais n’oubliez pas de profiter aussi de ces quelques jours plus libre pour le travail de vos TIPE pour lequel c’est la dernière ligne droite.

A bientôt

rb